Aplicación de Integrales

Existen diferentes escenarios en los cuales podemos encontrar integrales de todo tipo como por ejemplo:

• Área entre curvas

• Sólidos de revolución

• longitud de arco

ÁREA ENTRE CURVAS

Para encontrar el área de una región entre dos curvas, hay que considerar dos funciones y=f(x)  y y=g(x), las cuales tiene que ser continuas en los intervalos [a, b]. Si las gráficas están sobre el eje x y la gráfica  y=g(x) esta debajo de la gráfica y=f(x), se puede interpretar geométricamente el área de la región entre las gráficas, es decir restar el área de la función y=g(x) al área de la función y=f(x) , esto nos dará el área entre 2 curvas en determinados intervalos. 

Definición

Si y=f(x) y y=g(x) son continuas en [a,b] y y=g(x) ≤ y=f(x) para todo x en [a,b], entonces el área de la región acotada por las gráficas y=f(x) y  y=g(x) y las rectas verticales  x=a y x=b  es

Área de una región entre dos curvas que se intersecan

Se utiliza el mismo método, con excepción que aquí los intervalos se buscan, ya que como intervalos se utilizan los puntos donde se intersecan las gráficas. Hay veces que las gráficas se intersecan más de 2 veces y de aquí sale que se sumas las 2 regiones, sin importar que gráfica pase arriba o abajo, ya que para eso solo se utiliza la misma lógica de y=g(x) ≤ y=f(x) o y=f(x) ≤ y=g(x) y de esa forma se tendrá los 3 intervalos, uno para [a,b] y otra para [b,c]. 

SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un solido que resulta al girar un triangulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

Rotación paralela al eje de abscisas (Eje x)

El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, una recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica

En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula:

 método de discos.

Ambas expresiones se deducen de que al hacer girar un área formada por innumerables rectángulos de base dx y altura f(x), alrededor del eje X, se forman discos colocados verticalmente cuyos volúmenes sumados resultan en el volumen de todo el sólido. Cada disco tiene por volumen el de un cilindro como si fuera una moneda acomodada verticalmente, es decir, V=Πr²h donde el radio de la base del cilindro es f(x), y la altura del cilindro es dx, por lo que el volumen del cilindro resulta ser V=Πf²(x)dx y la suma de todos estos volúmenes parciales, es el volumen total que resulta en la expresión:

Si son dos funciones f(x) y g(x), el volumen total será la resta del volumen mayor menos el volumen menor

Pero si el giro es alrededor de una recta paralela al eje X: y=K, entonces la expresión resultante es (siempre que K<X en para todo X):

en el caso en el que K>X, es decir la recta X=K se encuentre a la derecha de las funciones se debe aplicar:

Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)

Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes generados por el giro de un área comprendida entre dos funciones cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b], con f(x) > g(x) en el intervalo [a,b].alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante positiva. La fórmula general del volumen de estos sólidos es:

Esta fórmula se simplifica si giramos la figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por:

 Método de cilindros o capas.