Existen diferentes tipos de integración:
- Regla de Sustitución
- Integración por partes
- Fracciones Parciales
- Sustitución trigonométrica
REGLA DE SUSTITUCIÓN
El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la regla de la cadena.

El método se basa en identificar una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
Pasos para integrar por sustitución

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:


Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:

2º Si la integral resultante es más sencilla, procedemos a integrar:

3º Se vuelve a la variable inical:

INTEGRACIÓN POR PARTES
El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.
Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.
Caso 1
En este primer caso aplicamos la fórmula directamente, tomando la x como u.




Caso 2
Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.












Caso 3
Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando: v' = 1.





Caso 4
Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación.








Pasamos la integral del 2º miembro al 1º.

Sumamos las integrales y multiplicamos en los dos miembros por 4/13.

Sacamos factor común e3x.

INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES
El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral o una transformada de Laplace Inversa. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el grado del numerador.
Definimos fracciones parciales a la función F(x) en la cual dicha función depende de un numerador y un denominador. Para que sea una fracción parcial el grado del denominador tiene que ser mayor al grado del numerador.
Las integrales por fracciones parciales es de la forma
donde:

P(x) y Q(x) son polinómios
El grado de P(x) es menor que el de Q(x)
NOTA
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples.
En álgebra, fracción parcial, descomposición o extensión parcial de la fracción se utiliza para reducir el grado de el numerador o el denominador de a función racional. El resultado de la extensión parcial de la fracción expresa esa función como la suma de las fracciones, donde:
- El denominador de cada término es irreducible (no factorizable) polinómico y,
- El numerador es un polinomio de un grado más pequeño que ese polinomio irreducible.
Caso I (Factores Lineales Distintos)
En este caso tenemos que los factores del denominador son todos factores lineales distintos.
Q(x) = (a1x + b1)(a2x + b2)(a3x + b3)...(anx + bn) a y b son constantes, proponer:

Encontrar A1,A2,An
Ejemplo Caso I
Sea
.

Primero factorizamos el denominador nos quedaría 

Tenemos entonces dos factores lineales no repetidos usamos el caso I para escribir

Caso II (Factores Lineales Repetidos)
Suponga que el primer factor lineal (a1x + b1) se repite r veces; es decir, (a1x + b1)r aparece en la factorización de Q(x). Por lo tanto en lugar del término simple
en (1), se usaría


Ejemplo caso II
Si tenemos

en el denominador Q(x) = (x + 1)3(x − 1)(x − 2) podemos ver que tenemos que tenemos los factores lineales (x − 3)3, x − 1 y x − 2
Para (x − 1) y (x − 2) usamos el caso I entonces escribimos

Para (x + 1)3 usamos el caso II entonces escribimos

Ahora juntamos las fracciones anteriores y obtenemos, 

Caso III (Factores Cuadráticos Irreducibles)
Si Q(x) tiene un factor de la forma ax2 + bx + c, donde b2 − 4ac < 0 (esto nos dice que no se puede expresar ax2 + bx + c como la multimplicacion de dos fatores lineales pues la solución de la cuadratica es compleja) además de las fracciones parciales de (1) y (2) entonces la expresión para
tendrá un término de la forma 


Ejemplo Caso III
Sea
podemos notar que x2 + 1 es una cuadrática irreducible ya que su solución es compleja entonces para este factor escribimos una suma de la forma
y para el factor (x + 1)2 escribimos las fracciones



Sumamos estas fracciones y tenemos la expresion en fraciones parciales para f(x)

Caso IV (Factor Cuadrático Irreducible repetido)
Si Q(x) tiene un factor de la forma (ax2 + bx + c)r, donde b2 − 4ac < 0, luego en lugar de la única fracción parcial
, escribimos la suma


Ejemplo Caso IV
Sea
usamos el Caso II y el Caso IV y nos queda


Caso V (Fracción Impropia)
Si
es una fracción impropia (es decir, el grado de P(x) es mayor o igual que el de Q(x) entonces dividir P(x) por Q(x) para obtener:


Donde el grado de P1(x) es menor que el grado de Q(x)
Ejemplo Caso V
Sea
podemos notar que el grado del numerador 2x3 − 4x2 − 15x + 5 es 3 y es mayor que el grado del denominador x2 − 2x − 8 que es 2 por lo que la fracción es un fracción impropia entonces hacemos division larga,

Entonces podemos escribir 

donde en la fracción
el grado del numerador es menor que el grado del denominador entonces ya podemos aplicar los métodos antes mencionados.


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